锐参考 为了增强北极战力，俄军也是拼了：零下60摄氏度测新型武器

Fra Al-jabr, et av mesterverkene i arabisk matematikk.

百度 链接：http:///book/ts/

Matematikkens historie g?r flere tusen ?r tilbake i tid, lenge f?r ordet matematikk oppstod. Ordet ?matematikk? kommer fra gresk μ?θημα (máthema) som betyr vitenskap, kunnskap eller l?ring, og μαθηματικ?? (mathematikós) betyr ?glad i ? l?re?. I dag gjelder begrepet en bestemt kunnskapsgren – et deduktivt studium av antall, struktur, rom og endring.

Lenge f?r matematikk utviklet seg som eget kunnskapsomr?de har menneskene v?rt opptatt av antall, strukturer, former og figurer, lokalisering i rommet og andre emner knyttet til matematikk. Den mest fundamentale matematiske prosessen er telling, s? det er naturlig ? starte matematikkens historie med tall og tallsystemer. Tidlig ble det ogs? behov for ? kunne m?le og veie, og ? kunne sammenligne ulike st?rrelser. Fra primitiv telling og m?ling har matematikk gradvis utviklet seg til mer og mer generelle og abstrakte idéer og teorier.

De eldste matematiske tekstene vi kjenner stammer fra det gamle Mesopotamia, fra omkring 1800 f.Kr., og fra det gamle Egypt, fra omkring 1650 f.Kr. Ogs? i India har man funnet gamle matematiske tekster, fra mellom 800 og 500 f.Kr. De eldste tekstene omtaler problemstillinger og metoder i aritmetikk og geometri, og i alle tre landomr?dene har en hatt kjennskap til det som i dag omtales som Pytagoras’ l?resetning. Fra Kina kjenner vi sv?rt gamle matematiske tekster.

Grunnen for matematikk som eget fagomr?de ble lagt i antikkens Hellas. I det 6. ?rhundre f?r Kristus blandet Pytagoras og hans disipler matematikk, musikk og mystisisme, i en skole der kunnskap om tall og geometri sto sentralt. Euklid levde i Alexandria omkring 300 f?r Kristus, og Euklids Elementer ble med sin aksiomatiske tiln?rmingsm?te en viktig l?rebok i flere tusen ?r. Ogs? Arkimedes (f?dt ca 287 f.Kr.) skulle f? stor betydning for senere vitenskap i middelalderen. Kunnskap om gresk matematikk ble for en stor del glemt i Europa, men ble tatt vare p? og videreutviklet i den muslimske verden, i Arabia og Persia. I middelalderen ble arabiske tekster oversatt til latin, og disse oversettelsene formidlet kunnskap om b?de gresk, arabisk og indisk matematikk til Europa. Ikke minst viktig var introduksjonen av de hindu-arabiske tallene til Europa, p? 1200-tallet.

Utviklingen av matematikk i europeisk middelalder var langsom, men ble stimulert ved opprettingen av de f?rste universitetene. Mens grekerne i antikken i hovedsak unngikk uendelige prosesser, studerte europeiske matematikere p? 1400-tallet uendelige f?lger og rekker. Drevet fram av behov innenfor navigasjon ble trigonometri en stadig viktigere del av matematikk. Fran?ois Viète (1540–1603) innf?rte bruk av bokstaver i ligninger og la p? den m?ten grunnlaget for moderne matematisk notasjon.

Matematikk har alltid v?rt et viktig verkt?y i naturvitenskapene, og framskritt i matematikk har nesten alltid g?tt parallelt med utvikling i andre fag, ikke minst i fysikk og astronomi. Mange naturvitenskapsmenn, som Galileo Galilei (1564–1642) og Johannes Kepler (1571–1630), bidro ogs? til utviklingen av matematikk.

Sentralt i utviklingen p? 1700-tallet sto innf?ringen av analytisk geometri av René Descartes (1596–1650) og Pierre de Fermat (1607–1665). En milep?l var ogs? etableringen av differensial- og integralregning, der grunnlaget ble lagt av Gottfried Leibniz (1646–1716) og Isaac Newton (1642–1726). Funksjonsbegrepet vokste fram fra studiet av geometriske kurver og ligninger. En gradvis standardisering av matematisk notasjon ble n? etablert, ikke minst p?virket av arbeidene til Leibniz og Leonhard Euler (1707–1783).

Studiet av algebraiske ligninger hadde p? 1600-tallet f?rt til innf?ring av komplekse tall, et viktig steg i en prosess der matematiske st?rrelser ble mer og mer abstrakte. Bruken av denne formen for tall tok for alvor fatt med arbeidene til Leonhard Euler og med etablering av kompleks funksjonsanalyse, av Augustin Louis Cauchy (1789–1857). Carl Friedrich Gauss (1777–1855), kanskje den st?rste matematikeren noensinne, beviste blant annet fundamentalteoremet i algebra, om eksistensen av komplekse r?tter i en polynomligning.

Oppdagelsen av at det er mulig ? definere ikke-euklidske geometrier fikk mange til ? se p? grunnlaget for matematikk med nye ?yne. Ogs? utforskning av patologiske funksjoner viste at mange intuitive begrep trengte en tydeligere klargj?ring. P? 1800- og 1900-tallet arbeidet mange matematikere med ? etablere et stringent grunnlag for matematikken. Karl Weierstrass (1815–1897) var sentral i prosessen med ? klargj?re skillet mellom geometri og algebra, i en prosess som i ettertiden er kalt ?aritmetrisering av analysen?. Mengdel?ren, innf?rt av Georg Cantor (1845–1918), la grunnlaget for en ny uttrykksm?te, som i dag brukes i n?r sagt alle deler av matematikk. Studiet av matematiske strukturer, som grupper, metriske rom og vektorrom, var viktig for utviklingen av abstrakt algebra.

David Hilbert (1862–1943) formulerte i 1900 en liste p? 23 ul?ste matematiske problem, en liste som fikk stor innflytelse p? utviklingen i nyere matematikk. En av utfordringene var ? bevise at aritmetikkens aksiomer er konsistente. Idealbildet av et fullkomment matematisk system fikk imidlertid flere skudd for baugen p? 1900-tallet, ikke minst da Kurt G?del (1906–1978) viste at det ikke er mulig ? definere et formelt aksiomatisk system som grunnlag for hele matematikken.

I nyere tid har det oppst?tt mange nye retninger i matematikk, for eksempel numerisk analyse, stimulert av utviklingen av datamaskiner. Matematikken fortsetter ? utvikle seg b?de i bredden og dybden, og faget er i dag s? omfattende at det er umulig for en matematiker ? ha oversikt over alt.

Forhistorisk tid, antikken og middelalderen

Ishango-benet utstilt p? Det belgiske vitenskapsmuseet i Brussel

Forhistorisk matematikk

Opphavet til matematikk ligger i menneskets behov for ? kunne telle, ? kunne m?le og ? kunne beskrive st?rrelse og form. Alt i tidlige samler- og jeger-samfunn har det v?rt viktig ? kunne formidle antall, for eksempel antall dyr og antall fiender. Strukturen i flere spr?k kan indikere at de f?rste former for primitiv telling har v?rt basert p? et skille mellom ?en?, ?to? og ?mange?. Innsikten om at to steiner og to fisk har noe felles, representerer en f?rste form for abstraksjon som er fundamental i matematikk.

Naturlig nok har kroppen lenge v?rt brukt som hjelpemiddel, og alt Aristoteles bemerket at telling basert p? fem og ti er en direkte konsekvens av antall fingrer og t?r. Det engelske ordet ?digit? for tall har opphav i det latinske ?digitus?, som betyr ?finger?. Ogs? mange navn p? primitive m?leenheter viser opphav i kroppen, for eksempel knyttet til h?nd-, fot- og armlengde.

Ved arkeologiske utgravninger i Tsjekkoslovakia er det gjort funn av et l?rben fra en ulv som er datert til omkring 30 000 f.Kr. P? dette benet er det risset inn 55 streker, systematisk etter hverandre. I Sentral-Afrika ble det i 1960 funnet et leggben av en ape, ogs? dette med innrissede streker delt inn i grupper. Dette s?kalte Ishango-benet er tidfestet til mellom 20 000 f.Kr. og 18 000 f.Kr., og strekene er blitt tolket som en form for telling eller en kalender.^{[trenger referanse]}

Primitiv telling har v?rt basert p? ? risse inn streker og kanskje ogs? ved ? sammenligne med et antall pinner, steiner og lignende. En n?dvendig forutsetning for matematikkens utvikling var skrivekunsten, som gjorde at en kunne skrive tall og relasjoner mellom tallene p? en systematisk m?te.

De f?rste jordbrukssamfunnene utviklet seg rundt de store elvene Nilen, Eufrat og Tigris, Indus, Chang Jang og Huang He, og disse samfunnene trengte former for matematisk kunnskap for ? kunne fungere. Det er derfor naturlig at vi fra disse samfunnene har de f?rste systematiske nedtegnelsene av matematisk kunnskap. F?rst og fremst m?tte en ha en godt utviklet kalender, slik at en kunne vite n?r det er tid for ? s? og h?ste. For ? kunne lage en kalender, trengtes foruten kunnskap om tall og aritmetikk, omfattende astronomiske kunnskaper. Kunnskaper innenfor astronomi utvikles gjennom matematiske beregninger. Et jordbrukssamfunn har ogs? behov for ? kunne utf?re landm?ling, slik at en kan fordele landomr?dene mellom b?ndene. Landm?ling krever geometrisk kunnskap, og ordet ?geometri? betyr da ogs? landm?ling. Det var behov for ? kartlegge og beregne regelmessige elveflommer, slik at en kunne sikre seg mot for store tap av avling og menneskeliv. Etter en flom m?tte en ofte m?le opp b?ndenes landomr?der p? nytt, for flommene medf?rte gjerne endringer i landskapet. Historiske kilder viser at alle sivilisasjoner har utviklet matematisk kunnskap for ? l?se praktiske problemer, i forbindelse med bokf?ring, astronomi, jordbruk og konstruksjon.

Matematikk i oldtidens Egypt (ca. 1850–600 f.Kr.)

Utdypende artikkel: Oldtidens egyptiske matematikk

Rhind-papyrusen er en viktig kilde til kunnskap om de gamle egypternes matematikk

Fram til forskerne klarte ? tyde de babylonske leirtavlene, var Egypt den rikeste kilden man hadde til kunnskap om matematikk i oldtiden. De eldste funnene av skrevne tall er fra ca 3300 f.Kr., i form av hieroglyfer hogd i ben, sten og metall. Egypterne brukte et titallsystem, men en har ogs? funnet spor av system basert p? 5, 12, 20 og 60. Tallsystemet hadde symboler for 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 og 1 000 000. Det eldste systemet var rent additivt, det vil si at et tall kunne leses som summen av flere symboler plassert ved siden av hverandre. Etter hvert ble systemet ogs? multiplikativt, slik at for eksempel tallet 120 000 kunne skrives med to symbol, som 120 og 100 plassert ved siden av hverandre.

Egypterne hadde en kalender der ?ret var delt inn i 12 m?neder, hver p? 30 dager. I tillegg hadde en fem festdager, slik at ?ret var 365 dager. Ogs? konstruksjon og plassering av pyramidene vitner om at egypterne hadde et h?yt utviklet system for telling og m?ling. For ? kunne lage konstant helning p? pyramidesidene hadde en for eksempel laget seg et m?l tilsvarende dagens cotangens.

De viktigste kildene til egyptisk matematikk er papyrusruller, skrevet med blekk i hieratisk skrift, en forenklet, rundet form for hieroglyfer. Blant disse rullene er Rhind-papyrusen den viktigste. Denne er tidfestet til ca. 1550 f.Kr., men teksten indikerer at det er en kopi av et eldre dokument, sannsynligvis fra Mellomriket 2000 - 1800 f.Kr. Rhind-papyrusen er antageligvis skrevet som en l?rebok i aritmetikk og geometri, og rullen inneholder en beskrivelse av metoder for br?kregning, multiplikasjon og divisjon samt problemer tilsvarende en enkel form for ligninger. Br?kregningen var i hovedsak begrenset til bruk av stambr?k, det vil si br?k med tallet 1 i teller (egyptiske br?ker). Egypterne brukte imidlertid ogs? br?ken 2/3 og en sjelden gang br?ker av typen $n/(n+1)$. Rhind-papyrusen inneholder to tabeller, der ulike br?ker skrives som en sum av stambr?ker. I tillegg inneholder rullen 84 problemer med l?sning, de fleste av matematisk karakter. Den grunnleggende operasjonen var addisjon. Multiplikasjon kunne utf?res ved et system basert p? dobling og summasjon. Divisjon brukte br?ktabellene, sammen med en form for dobling av divisor.

Rhind-papyrusen beskriver ogs? praktiske geometriske problem knyttet til beregning av areal og volum. I ett av problemene hevdes det at arealet av en sirkel med diameter 9 enheter er det samme som en firkant med sidekant 8 enheter. Dette gir et uttrykk for π svarende til $(2\cdot 8/9)^{2}=3.1605...$. Det er ikke funnet bevis for at egypterne kjente til den pytagoreiske l?resetningen, selv om Berlin-papyrusen kan indikere en form for kjennskap.

Moskva-papyrusen (ca. 1890 f.Kr.) er eldre enn Rhind-papyrusen, men ikke s? innholdsrik. Papyrusen inneholder 25 matematiske problemer, og l?sningen til ett av problemene viser at egypterne kunne beregne volumet av en frustum, det vil si en avkortet pyramide. Et annet problem gjelder beregning av arealet av en krummet flate, men teksten gir en uklar beskrivelse av flaten dette gjelder.

Greske matematikere arvet kunnskap fra Egypt, og Aristoteles ga egypterne ?ren for ? ha ?oppfunnet? geometrien. Egypterne var imidlertid prim?rt opptatt av praktiske problem, og egyptiske kilder gir aldri forklaringer p? hvordan en har kommet fram til en probleml?sning og heller ikke bevis for noen av resultatene.

Babylonernes matematikk (ca. 1800–300 f.Kr.)

Utdypende artikkel: Babylonsk matematikk

Babylonsk matematikk refererer til matematikk fra det gamle Mesopotamia (dagens Irak), helt fra de tidligste sumeriske kulturene til begynnelsen av hellenismen. Karakteristikken ?babylonsk matematikk? blir brukt p? grunn av den viktige rollen byen Babylon hadde i denne perioden. Likevel kan begrepet til en viss grad v?re misvisende, for den mesopotamiske kulturen omfattet mye mer enn Babylon og tilgrensende omr?der.

Kunnskapen om de gamle mesopotamerne og de sumeriske kulturene har man fra en sv?rt rik samling av leirtavler med kileskrift. Tavler med matematisk kunnskap kommer fra to vidt forskjellige tidsperioder, de fleste i fra den gammelbabylonske perioden (1900–1600 f.Kr.), men ogs? noen i fra Selevkideriket (323–60 f.Kr.). Samlet vitner tavlene om en rik kultur med en h?yt utviklet matematikk.

I Mesopotamia ble et tallsystem basert p? grunntall 10 sv?rt tidlig fortrengt av et seksagesimalsystem med grunntall 60. Tall under 59 ble skrevet i et system tilsvarende det egypterne brukte, mens tall over 60 ble behandlet sv?rt annerledes. Babylonerne utviklet et posisjonssystem, der plasseringen av tall i forhold til hverandre var viktig. I et stort tall ble tallene skrevet gruppevis, der f?rste gruppe av tall markerte antall enere, neste gruppe antall ganger grunntallet $60^{1}$, neste gruppe ganger grunntallet i andre potens $60^{2}$ og s? videre. Eksempelvis kunne tallet 3785 skrives som $(5)(3)(1)=5+(3\times 60)+(1\times 60^{2})=3785$. Rester av dette seksagesimalsystemet har vi enn? i dag, i inndelingen av tid og av gradesirkelen.

Det eldste babylonske posisjonssystemet manglet symbol for tallet null. Bare ut fra sammenhengen har en senere v?rt i stand til ? gjette seg til om en tegngruppe $(3)(2)$ var ment ? representere $3+(2\times 60^{1})$ eller for eksempel $(3\times 60^{1})+(2\times 60^{2})$. F?rst i tavler fra Selevkideriket dukker det opp et tegn for ? markere en tom plass mellom to grupper av tall, slik at en for eksempel kunne skrive tallet $(3\times 60^{1})+(\ )+(2\times 60^{3})$. Tegnet ble ikke brukt i slutten av et tall og ikke brukt alene, s? babylonsk matematikk fikk aldri et fullgodt symbol for null.

Posisjonssystemet ble ogs? brukt for ? uttrykke br?ker av typen $(2\times 60^{-1})+(4\times 60^{-2})$. Posisjonssystemet gjorde babylonerne i stand til ? utf?re multiplikasjon og divisjon langt mer effektivt enn det egypterne var i stand til, og operasjoner p? br?ker var like enkelt som operasjoner p? heltall.

Babylonsk matematikk var i stor grad basert p? bruk av tabeller, og i tavler har en funnet multiplikasjonstabeller, divisjonstabeller, tabeller for regning med desimalbr?ker, tabeller for kvadrat- og kubikktall, og ogs? tabeller for kvadratr?tter og kubikkr?tter. Line?r interpolasjon ble brukt til ? finne mellomliggende verdier i tabellene.

Selv om tabellene var viktige, s? utviklet babylonerne ogs? prosedyrer eller algoritmer for ? l?se matematiske problem. De var vel fortrolige med b?de line?re og kvadratiske ligninger, og i mange tilfeller var de ogs? i stand til ? redusere h?yere ordens algebraiske ligninger til kvadratiske ligninger. De utviklet en metode for ? finne tiln?rmede uttrykk for kvadratr?tter. Ved hjelp av br?kuttrykk greide en for eksempel ? uttrykke roten av 2 som $1+(24\times 60^{-1})+(51\times 60^{-2})+(10\times 60^{-3})$, med en feil p? rundt 0,000008!

Den babylonske leirtavlen som er mest kjent har f?tt navnet Plimpton 322, laget omkring 1800 f.Kr. Leirtavlen inneholder blant annet av en tabell med pytagoreiske tripler, det vil si tre tall $a,b,c$ som oppfyller ligningen $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Babylonerne kjente til den pytagoreiske setningen mer enn tusen ?r f?r Pytagoras levde. Organiseringen av de pytagoreiske triplene p? tavlen kan ogs? indikere en tidlig form for trigonometri.

Tradisjonelt har en framstilt babylonerne som pionerer i algebra og egypterne som grunnleggere av geometri. Mange tavler med kileskrift kan imidlertid vitne om at babylonerne var kommet vel s? langt i geometri som egypterne.

Kinesisk matematikk (etter ca. 1300 f.Kr.)

Kinesisk abakus

De tidligste bevarte kilder til kinesisk matematikk stammer fra tall som er risset inn p? skilpaddeskall (s?kalte orakelben). Disse stammer fra Shāng-dynastiet (ca. 1500–1027 f.Kr.). Disse tallene er skrevet i et posisjonssystem, slik at tallet 123 er skrevet (fra topp til bunn) med symbolet for 1 一 fulgt av symbolet for 100 百, deretter symbolet for 2 二 fulgt av symbolet for 10 十, og til sist symbolet for 3 三 （sammen 一百二十三). Dette tallsystemet er fortsatt i bruk i kinesisk skriftspr?k, ved siden av arabiske tall. Det kunne gj?res raske og avanserte utregninger ved hjelp av en suànpán, som er en kinesisk kuleramme. Denne oppfinnelsen ble trolig utviklet til praktisk bruk av handelsmenn og gav en ?regnekraft? som ikke ble passert f?r kalkulatorens oppfinnelse.

I 212 f.Kr. beordret Qín-dynastiets keiser Shǐ Huáng at alle b?ker skulle brennes. Selv om denne ordren ikke ble fulgt overalt, er konsekvensen at man i dag har f? sikre kilder om matematikken i det gamle Kina.

Under Táng-dynastiet ble den til da kjente matematiske viten samlet i verket Ti klassikere om matematikk (Suànjīng shíshū, 算经十书). Den mest innflytelsesrike av disse ti er Matematikk i ni kapitler (Jiǔzhāng suànshù), skrevet av en anonym forfatter for 2000 ?r siden. Den inneholder praktiske l?sninger p? matematiske problem, uten bruk av avansert deduksjon, slik samtidig gresk matematikk tilstrebet. Flere av bokas beviser ble ikke oppdaget i Europa f?r over tusen ?r senere. De fleste matematiske problem var knyttet til renteregning, skattlegging, rekker, geometri og landm?ling. En kinesisk matematiker var den f?rste som klarte ? beregne tallet π med hele 7 desimaler.

Eksamenssystemet for statstjenestemenn var ener?dende karrierevei for personer med h?yere utdanning fra Sòng-dynastiet og senere. Disse harde eksamenene vektla kun kunnskap om konfusianske klassiske tekster. Derfor var studier av matematikk kun en distraksjon fra eksamenspresset, som det ikke l?nte seg ? vie tid til. Dette er en mulig forklaring p? at kinesisk matematikk senere kom til ? miste sitt forsprang. Man holdt seg med et matematisk-astronomisk direktorat som hadde som hovedoppgave ? beregne kalenderen, men kalenderoppsettene ble mer og mer up?litelige, inntil europeiske jesuitter med matematisk utdannelse ble engasjert p? 1600-tallet.

Indisk matematikk (ca. 900 f.Kr.–1150 e.Kr.)

India har en lang og spennende historie, ogs? som matematikk-nasjon. Landet har fostret mange store matematikere, fra det 9. ?rhundre, via den store Brahmagupta (598–670) til v?r tids Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887–1920), som blir regnet som et av Indias st?rste matematiske genier.

I det 9. ?rhundre f?r v?r tidsregning, blir verdien til π angitt med to desimaler i teksten Shatapatha Brahmana. Sulba Sutraene (ca. 800–500 f.Kr.) var geometriske tekster, og her finner man irrasjonale tall, primtall og kubikkrot. Her finner man ogs? roten av 2 utregnet med fem desimaler. Teksten ga ogs? en metode for ? finne sirkelens kvadratur, den l?ste line?re og kvadratiske ligninger, utviklet pytagoreiske tripler algebraisk, og den ga et numerisk bevis for Pytagoras' l?resetning. I det 5. ?rhundre f.Kr. ble de grammatiske reglene for sanskrit utformet av Pā?ini. Hans notasjon var ikke ulik moderne matematisk notasjon, og den tok i bruk metaregler, transformasjoner og rekursjoner p? en sofistikert m?te. P? mange m?ter kan derfor Paninis arbeid regnes som forl?peren til moderne grammatisk teori, som er viktig i programmeringsspr?k.

I verk av Pingala (omkring det 3.–1. ?rhundre f.Kr.) finner man matematiske ideer som kan regnes som forl?pere for det bin?re tallsystem, binomialformelen og fibonaccitall.

Mellom 300 f.Kr. og 200 e.Kr. begynte tilhengere av jainismen ? studere matematikk for matematikkens egen skyld. De var de f?rste til ? utvikle blant annet transfinite tall, gruppeteori, logaritmer, tredjegradsligninger, fjerdegradsligninger, permutasjoner og kombinasjoner.^{[trenger referanse]} Bakshali-manuskriptet, som ble skrevet en gang mellom 200 f.Kr. og 200 e.Kr., inneholder l?sningene p? line?re ligninger med opp til fem ukjente, l?sning av andregradsligninger, aritmetiske og geometriske rekker, bruk av null og negative tall, og mye mer. Her kan man ogs? finne n?yaktige utregninger av irrasjonale tall. Noen av disse utregningene inneb?rer at en m? trekke ut kvadratroten av tall p? st?rrelse med en million, og r?ttene er regnet ut med minst 11 desimaler.

Brahmagupta (598–668) var en markant indisk matematiker, og han blir ofte kreditert oppdagelsen av tallet null.^{[trenger referanse]} I sitt verk Brahma Sphuta Siddhanta fra ca. 628 presenterer han regler for regning med negative tall og null. Han er ogs? kjent som den f?rste som ga den generelle l?sningen til den diofantiske ligningen p? formen ax + by = c. Han etterlot seg ogs? en rekke matematiske problem som var formulert p? en kunstferdig m?te, slik de indiske matematikerne ofte gjorde.

En av tidenes st?rste indiske matematikere var Bhaskara (1114–1185). I tillegg til sine arbeid innen aritmetikk, algebra og trigonometri, er han en av forl?perne for moderne matematisk analyse. Han hadde stor forst?else for differensial- og integralregning lenge f?r Newton og Leibniz la det formelle grunnlaget for matematisk analyse. Bhaskaras mest kjente verk var Lilivati, oppkalt etter hans eneste datter.

Grekernes matematikk (ca. 550 f.Kr.–300 e.Kr.)

Euklid samlet all kjent matematikk i antikkens Hellas i sin bok Elementer

Grekerne leverte mange viktige bidrag til utviklingen av matematikk, og den aller viktigste var nok innf?ringen av det matematiske beviset. Tidligere sivilisasjoner hadde ogs? hatt en h?yt utviklet matematikk, men da stort sett i form av mer eller mindre velutviklete algoritmer for ? l?se bestemte problem og gj?re ulike utregninger. For de greske matematikerne var det ikke lenger nok bare ? regne seg fram til en numerisk l?sning p? problemene, en m?tte ogs? bevise at svaret var riktig. En stor del av den kjente matematikken fra antikken ble sammenfattet omkring 300 f.Kr av Euklid i verket Elementer. Her ser man for f?rste gang en strengt oppbygd matematikk som starter med definisjoner og aksiomer, og ut fra disse blir alle de matematiske setningene bevist. Dette verket har stor betydning for utviklingen av matematikken, og det har blitt brukt som l?reverk i geometri ved universitetene helt fram til v?r tid.

Den f?rste greske matematikeren som nevnes i historiske kilder er Tales fra Milet. Han regnes ogs? som den f?rste greske filosof og vitenskapsmann generelt. En av de mange historiene som er nedtegnet om Tales, er at han ved hjelp av beregninger kunne forutsi en solform?rkelse i 585 f.Kr. Han ble blant annet kreditert oppdagelsen av at diameteren deler sirkelen i to like store deler og at alle vinklene i en likesidet trekant er like store.

En figur som illustrerer Pytagoras' l?resetning.

Den greske matematikeren som er best kjent i dag er nok Pytagoras. Pytagoras var fra ?ya Samos like ved kysten av dagens Tyrkia, og han slo seg etter hvert ned i en liten gresk by i det s?rlige Italia. Her hadde han en gruppe disipler rundt seg, og denne gruppen ble senere kalt pytagoreerne. Dette var en religi?s og filosofisk skole som det er knyttet mange historier og myter til. Pytagoreerne var sv?rt opptatt av tall, og Pytagoras blir ofte tillagt sitatet: ?Alt er tall?. Pytagoras oppdaget ogs? forholdet mellom harmoniske toner i musikk. Den mest kjente setningen som knyttes til Pytagoras er nok likevel den s?kalte Pytagoras’ l?resetning. Denne setningen viser en viktig sammenheng i alle trekanter som har en rett vinkel. Hvis du kvadrerer (multipliserer med seg selv) de to korteste sidene (katetene) i en rettvinklet trekant og adderer de to tallene du f?r, s? blir dette like mye som kvadratet av den lengste siden i trekanten (hypotenusen). Denne setningen kan ogs? brukes for ? vise at en trekant er rettvinklet.

I moderne matematisk analyse er uendelig sm? st?rrelser sentrale. Grunnlaget for den tenkningen man finner der ble lagt allerede hos Zenon fra Elea (ca. 490–425 f.Kr.). Han er s?rlig kjent for sine paradokser. Et av paradoksene har utgangspunkt i at man kan dele et linjestykke i uendelig mange biter. For at man skal komme fra et punkt til et annet p? et linjestykke m? man f?rst bevege seg halvparten av veien. For ? komme dit, m? man f?rst bevege seg halvparten av dette nye linjestykket, og slik fortsetter det. Resultatet, if?lge Zenon, er at all bevegelse vil v?re umulig.

Perikles var nok mer kjent som filosof og naturvitenskapsmann enn som matematiker, men hans navn knyttes likevel til et av de store problemene i matematikkens historie. Dette gjelder problemet med sirkelens kvadratur. Problemet dreier seg om ? konstruere (med passer og linjal) et kvadrat som har samme areal som en gitt sirkel.

To av de aller st?rste greske tenkere, Platon og Aristoteles, leverte ikke selv viktige resultater i matematikk, men de har likevel hatt innflytelse p? utviklingen av matematikken i antikkens Hellas. Begge grunnla sine skoler, hvor det blant annet ble undervist i matematikk, og noen av deres elever har hatt stor betydning for matematikkens utvikling. Platon s? p? matematikk som en del av den oversanselige virkeligheten, og han mente at matematikken dermed var opph?yet over alle de andre vitenskapene. Dette synet var Aristoteles uenig i.

En av Platons elever, Eudoksos, leverte viktige bidrag til astronomien, og han laget ogs? en permanent kalender. Han skal ogs? ha vist at volumet av en kjegle er en tredjedel av volumet til en sylinder med samme grunnflate og h?yde, og at volumet til en pyramide er en tredjedel av volumet til et prisme med samme grunnflate og h?yde. Dette klarte han ved bruk av utfyllingsmetoden.

I hellenismen ble den greske matematikken videreutviklet med hovedsete i Alexandria. Her levde den store Euklid, som skrev l?reverket Elementer. Dette verket inneholder ikke bare geometri, men ogs? viktige resultater fra andre deler av matematikken. I den hellenistiske tidsalderen leverte ogs? Arkimedes viktige bidrag til matematikken. I likhet med Fermat offentliggjorde han ofte sine resultater uten bevis, slik at andre matematikere kunne ha forn?yelsen av ? finne det ut selv.

Den siste av de store greske geometrikerne var Apollonios fra Perge (ca. 262–190 f.Kr.). Han er s?rlig kjent for sine teorier om kjeglesnitt, og hans mest kjente verk er Conica (som betyr kjeglesnitt). Et kjeglesnitt kan defineres som snittet mellom en kjegle og et plan, og Apollonios var den f?rste som inns? at en kan f? alle typer kjeglesnitt ved ? skj?re en fast kjegle med et varierende plan. Tidligere hadde en bare sett p? rette kjegler. Apollonios innf?rte ogs? navnene ellipse, parabel og hyperbel.

En av de siste betydningsfulle greske matematikerne var Diofant, ogs? kalt Diofantos fra Alexandria. Han skal ha hatt sitt virke omkring ?r 250, og hans mest kjente verk er Aritmetika. Dette verket har hatt stor betydning for utviklingen av matematikk helt fram til v?re dager, og den hadde stor p?virkning p? en matematiker som Fermat. Her beskriver Diofant hvordan en kan generere alle primitive pytagoreiske tripler, og det var i margen av dette avsnittet i boken at Fermat skrev sin ber?mte kommentar som senere har blitt kalt Fermats siste teorem.

Persisk og arabisk matematikk (ca. 700–1600)

Utdypende artikkel: Matematikk i middelalderens islam

P? 700-tallet erobret araberne store deler av Midt?sten, Nord-Afrika, Den iberiske halv?y og deler av India, og araberne ga flere viktige bidrag til utviklingen av matematikken.

Selv om de fleste islamske tekster om matematikk ble skrevet p? arabisk, var ikke alle skrevet av arabere. P? denne tiden var arabisk et utbredt skriftspr?k blant l?rde i de delene av verden som araberne hadde erobret, p? samme m?te som gresk var et utbredt spr?k i den hellenistiske verden. Noen av de viktigste matematikerne innenfor den muslimske verden var persere.

En av de mest kjente arabiske matematikerne var Mu?ammad ibn Mūsā al-?wārizmī, som levde p? 800-tallet i Persia. Han skrev flere viktige b?ker. De viktigste tekstene hans var om de hindu-arabiske tallene og om metoder for ? l?se ligninger. Ordet algoritme er utledet av hans navn, og ordet algebra stammer fra tittelen p? ett av hans mest kjente verk: Al-Jabr wa-al-Muqabilah. Al-Khwarizmi blir ofte sett p? som grunnleggeren av moderne algebra.

En videre utvikling av algebra finner man hos Abu Bakr al-Karaji (953–1029) i hans bok al-Fakhri. P? 900-tallet ble verkene til Diofant oversatt fra gresk til arabisk av Abu l-Wafa.

Omar Khayyām – en persisk dikter som levde p? 1100-tallet – var ogs? matematiker, og han skrev blant annet en bok hvor han tok for seg svakhetene i Euklids Elementer. Han ga ogs? en geometrisk l?sning p? kubiske ligninger, som blir regnet som en av de mest originale bidragene fra datidens matematikk. Han hadde ogs? sterk innflytelse p? kalenderreformene. Som matematiker var Khayyám kjent for ? ha funnet en metode for ? l?se tredjegradsligninger ved en geometrisk metode. I 1070 skrev han sitt mest kjente verk om algebra, hvor han klassifiserte ligninger etter graden. Her presenterte han ogs? en metode for ? l?se andregradsligninger som er sv?rt lik den vi bruker i dag.

Nyere forskning har rettet oppmerksomheten mot den store dybden i den arabiske matematikken. Mange av de ideene som tidligere ble sett p? som nyvinninger av europeiske matematikere p? 1500-tallet, 1600-tallet og 1700-tallet ble i virkeligheten utviklet av arabiske matematikere omkring fire ?rhundre tidligere. P? mange m?ter ligger den matematikken som studeres i dag mye n?rmere den arabiske matematikken enn den gamle greske matematikken.

Middelalder i Europa

Mens den arabiske matematikken blomstret helt fram til slutten av 1400-tallet, var det lite matematisk aktivitet i Europa. Ett av unntakene i den tidlige middelalderen var Alkuin fra York (735–804). Han fikk i oppgave ? undervise Karl den store og hans familie i retorikk, logikk, teologi og matematikk. Han skrev element?re b?ker i aritmetikk, geometri og astronomi, og han bygde opp en katedralskole i Tours. Denne ble en forl?per for de franske universitetene. Han skrev l?reb?kene i form av sp?rsm?l og svar, og de inneholder flere klassiske matematiske problemer.

I h?ymiddelalderen skjer en oppv?kning i Europa, og mange av de greske filosofene blir gjenoppdaget. Det oppst?r blant annet en ny interesse for Aristoteles' logikk, og i denne perioden utvikles ogs? skolastikken.

P? 1200-tallet var flere regneb?ker i bruk i Europa, og blant dem finner man ogs? Algorismus i Hauksbok. Hauksbok ble skrevet av Haukr Erlendsson, som var lagmann p? Island i 1294 og kom til Norge i ca. 1301. En del av denne boken kalles for Algorismus, og dette er den eldste regneboken p? noe nordisk spr?k. Boken starter med ? beskrive posisjonssystemet, og den fortsetter med ? beskrive de ulike regneartene, kvadratrot og kubikkrot.

P? 1200-tallet levde ogs? Leonardo av Pisa, ogs? kalt Fibonacci, og det er fra ham man har f?tt kunnskapen om de s?kalte fibonaccitallene. Leonardo var godt kjent med den arabiske matematikken, og han er blant annet kjent for ? ha brakt arabernes algebra til Europa. Han var ogs? den f?rste av de italienske regnemestrene (maestri d'abbaco), som blant annet underviste handelsfolk i regning. P? denne tiden skjer en forsiktig oppblomstring av matematikken i Europa.

Gjennombruddet i Europa

Isaac Newton. Maleri av Godfrey Kneller

Den matematiske tradisjonen ble gjenopptatt i Europa etter middelalderen. Dette ble i stor grad gjort mulig av Adelards oversettelser fra 1100-tallet av arabiske verk til latin. Utviklingen skj?t fart i 1500-tallets Italia, da blant andre Girolamo Cardano leverte viktige bidrag til utviklingen av algebra og l?sing av ligninger. De italienske fremgangene f?rte til ?kt entusiasme for forsking i matematikk, og dette spredde seg til resten av Europa. René Descartes tillempet algebraen til geometriske problem, og Pierre de Fermat og Blaise Pascal var sentrale i utviklingen av sannsynlighetsregningen.

Matematikken fikk en betydelig rolle i sammenheng med den vitenskapelige revolusjonen som startet omkring 1600, da Johannes Kepler og Galileo Galilei anvendte matematiske sammenhenger for ? beskrive fysiske fenomen. Den skotske matematikeren Lord Napier var den f?rste som utforsket naturlige logaritmer. P? 1600-tallet ble ogs? grunnlaget for den matematiske analysen lagt. Dette dreier seg om forholdet mellom st?rrelser som gjennomg?r forandring, og det er et viktig probleml?singsverkt?y innenfor andre grener av vitenskapen og teknikk. Analysen ble grunnlagt av Leibniz og Newton, som gjorde viktige fremskritt uavhengig av hverandre. Newton brukte siden analysen for ? formulere den klassiske mekanikken.

Parallelt med matematikkens ?kende anvendelser ble den ogs? utviklet stadig mer i abstrakt retning. P? 1700-tallet og 1800-tallet skjedde en n?rmest eksplosjonsartet vekst av matematisk kunnskap. Det var p? denne tiden nye omr?der som topologi, analytisk tallteori og analytisk geometri ble utviklet.

Moderne utvikling

1700-tallet

Kunnskapen om de naturlige tallene: 1, 2, 3, ... er eldre enn noen skrevne tekster, og de tidligste sivilisasjoner i Mesopotamia, Egypt, India og Kina kjente til regning med disse tallene (aritmetikk). En m?te ? se p? utviklingen av de ulike tallsystemene i moderne matematikk er ? se p? hvordan nye tall blir studert for ? finne svar p? sp?rsm?l knyttet til regning med de gamle tallene. I tidligere tider ga br?ker (rasjonale tall) svaret p? sp?rsm?l av typen: Hvilket tall er det som multiplisert med 3 gir svaret 1? I India og Kina, og mye senere i Tyskland, ble negative tall utviklet for ? gi svaret p? sp?rsm?let: Hva f?r du n?r du trekker et stort tall fra et som er mindre? Nullen ble funnet opp p? bakgrunn av et lignende sp?rsm?l: Hva f?r du n?r du trekker et tall fra seg selv?

Et annet naturlig sp?rsm?l er hva slags tall kvadratroten av to er. Grekerne visste at dette ikke var en br?k, men et bedre svar p? sp?rsm?let kom da irrasjonale tall ble funnet opp. De ble utviklet av John Napier og senere videreutviklet av Simon Stevin. Ved ? bruke desimaler og en ide knyttet til grensebegrepet, studerte Napier en ny konstant. Denne konstanten ga Leonhard Euler senere navnet $e$.

Carl Friedrich Gauss – ?matematikkens fyrste?. Maleri av C.A. Jensen

Euler hadde stor innflytelse p? standardiseringen av andre matematiske begrep og notasjoner. Han ga kvadratroten av minus 1 symbolet $i$, og han populariserte ogs? bruken av den greske bokstaven $\pi$ for ? beskrive forholdet mellom sirkelens omkrets og dens diameter. Senere utviklet han f?lgende viktige identitet i matematikken,

$e^{i\pi }+1=0\,,$

kjent som Eulers likhet.

1800-tallet

I l?pet av 1800-tallet ble matematikken stadig mer abstrakt. I dette ?rhundret levde en av tidenes st?rste matematikere, Carl Friedrich Gauss, og ogs? to av de st?rste norske matematikerne: Niels Henrik Abel og Sophus Lie. Gauss leverte det f?rste fullstendige beviset p? algebraens fundamentalteorem, og b?de Abel og Lie ga flere viktige bidrag til algebraens utvikling.

En viktig oppdagelse p? 1800-tallet var da Nikolaj Lobatsjevskij og Janos Bolyai uavhengig av hverandre oppdaget den ikke-euklidske geometrien. I deres hyperbolske geometri krummer rommet slik at det finnes uendelig mange linjer gjennom et gitt punkt som er parallelle med en gitt linje. Bernhard Riemann, en av elevene til Gauss, leverte ogs? et viktig bidrag til utviklingen av den ikke-euklidske geometrien. Hans utvidelse av differensialgeometrien har f?tt navnet Riemann-geometri. Her utvidet han den tradisjonelle differensialgeometrien til $n$ dimensjoner. Den ikke-euklidske geometrien kom som en overraskelse, da man trodde at det bare fantes én geometri, nemlig den euklidske. Den euklidske geometrien er den som stemmer best overens med den menneskelige intuisjon, men paradoksalt nok viste Albert Einstein p? starten av 1900-tallet gjennom sin relativitetsteori at det er den ikke-euklidske geometrien som beskriver virkeligheten.

I tillegg til nye retninger av matematikken, fikk matematikken et strengere logisk fundament. Dette skjedde blant annet innenfor matematisk analyse, hvor Augustin Louis Cauchy og Karl Weierstrass leverte viktige bidrag p? dette omr?det.

Niels Henrik Abel var en av de mest markante matematikerne i Europa p? 1800-tallet

P? 1800-tallet ble ogs? en ny retning innen algebra utviklet, nemlig boolsk algebra. Den ble utviklet av den engelske matematikeren George Boole. I boolsk algebra kan variablene kun ha to tilstander eller verdier. Enten er de sanne med verdien 1, eller de er usanne med verdien 0. Boolsk algebra fikk stor betydning i det 20. ?rhundre, og det er denne matematikken som blir brukt i moderne datamaskiner.

Matematikkens begrensning ble ogs? utforsket p? 1800-tallet. Niels Henrik Abel ga det endelige beviset for at ligninger av h?yere grad enn fire ikke kan l?ses med vanlige algebraiske metoder. Andre matematikere p? denne tiden viste at passer og linjal ikke er nok for ? tredele en tilfeldig vinkel (vinkelens tredeling), og heller ikke for ? konstruere et kvadrat med samme areal som en gitt sirkel (sirkelens kvadratur). Dette var to problemer som matematikere hadde fors?kt ? l?se siden antikken.

Oppdagelsene til Abel og Galois la videre grunnlaget for utviklingen av gruppeteori og abstrakt algebra. P? 1900-tallet har fysikere og andre vitenskapsmenn oppdaget at gruppeteori er en ideell m?te ? studere symmetri.

1900-tallet

I l?pet av 1900-tallet har matematikken utviklet seg stadig videre. Matematikere er ettertraktet innen mange omr?der, b?de innenfor undervisningssektoren og i industri og n?ringsliv. ?rlig blir det delt ut hundrevis av doktorgrader i matematikk og fagfeltet har vokst med slik fart at det er sv?rt vanskelig ? holde oversikten.

P? bakgrunn av de foreg?ende ?rhundrenes fremskritt fors?kte matematikerne tidlig p? 1900-tallet ? gjennomf?re en fullstendig formalisering av matematikken. M?let var ? utlede alle matematiske sannheter ved hjelp av enkle og veldefinerte logiske regler, og eventuelt finne en metode for ? utlede matematiske sannheter ?mekanisk?. En av lederne for dette arbeidet var David Hilbert, som var en av de fremste matematikerne p? denne tiden. Han presenterte et program for ? videreutvikle og formalisere matematikken. Han ?nsket ? konstruere et matematisk system basert p? noen grunnleggende aksiomer. Ved hjelp av dette systemet skulle alle setninger og problemer i matematikken kunne bevises, og systemet skulle v?re konsistent. Hvis en beviste at en setning var sann med én metode, skulle en alts? ikke kunne finne en annen metode som beviste at den samme setningen var usann. Dette arbeidet samlet flere av de fremste matematikerne i f?rste del av 1900-tallet.

Gottlob Frege viet mange ?r av sin yrkesaktive karriere til ? formulere grunnreglene for aritmetikken med basis i mengdel?ren. Like f?r han skulle gi ut sitt store verk, oppdaget den britiske matematikeren og filosofen Bertrand Russell en inkonsistens i Freges system. Denne inkonsistensen har f?tt navnet Russells paradoks, og den representerte en alvorlig fare for dr?mmen om et fullkomment matematisk system.

I 1931 snudde Kurt G?del hele det r?dende matematiske verdensbildet p? hodet ved ? bevise at ethvert formelt system enten er utilstrekkelig eller f?rer til selvmotsigelser. Dette medf?rer ikke at de matematiske setningene som allerede er bevist blir ugyldige, men G?dels oppdagelse viser at det er enkelte setninger og problemer som ikke kan bevises i matematikken. Som en f?lge av dette begynte matematikere ? fors?ke ? finne ut hvilke setninger som ikke kunne bevises, og man s? ikke bort fra at Fermats siste setning kunne v?re et slikt ubeviselig problem. Da den britisk-amerikanske matematikeren Andrew Wiles i 1995 presenterte et bevis p? dette 350 ?r gamle problemet, var det et av ?rhundrets aller viktigste resultater i matematikken.

John von Neumann grunnla matematisk spillteori.

Under 2. verdenskrig fikk matematikerne en viktig rolle som kodeknekkere. Et av de mest kjente navnene i denne forbindelsen var Alan Turing. En periode var han leder for det britiske sj?forsvarets Enigmaseksjon ved Bletchley Park. Her jobbet en gruppe dyktige matematikere for ? knekke kodene p? de tyske meldingene. Tyskerne hadde utviklet en avansert elektromagnetisk krypteringsmaskin, kalt Enigma, som de brukte for ? kode meldinger de sendte. Den innsatsen Turing og hans gruppe gjorde for ? knekke disse kodene spilte en viktig rolle for krigens utvikling. Turing var ogs? med p? ? konstruere en av de f?rste programmerbare datamaskinene.

I 1944 lanserte John von Neumann begrepet spillteori. Her brukte han matematikken som redskap for ? analysere strukturen i ulike spill, og hvordan mennesker spiller disse spillene. Matematisk spillteori ble et viktig verkt?y i forbindelse med milit?re strategier i den kalde krigen.

P? 1900-tallet fikk matematikken nye anvendelser i og med datamaskinenes inntog, og i dag er den matematiske vitenskapen s? omfattende og raskt voksende at ingen matematiker kan ha inng?ende kjennskap til alle delene. ?rlig publiseres et hundretusentalls artikler med nye matematiske resultater.

Norsk matematikkhistorie

Den matematiske oppv?kningen i Europa kom lenge etter blomstringstiden i andre deler av verden, og norsk matematikk har en enda kortere historie. I middelalderen skrev Haukr Erlendsson Hauksbók. Denne boken hadde en liten del om regnekunst, som het Algorismus. Her finner man blant annet en forklaring p? posisjonssystemet, og boka har ogs? en beskrivelse av syv regnearter: legge til, trekke fra, fordoble, halvere, multiplisere, dele og trekke ut roten.

Caspar Wessel (1745–1818) blir ofte regnet som den f?rste norske matematiker. Wessel var landm?ler av yrke, og han var med p? ? kartlegge Danmark. Gjennom denne kartleggingen fant han opp sine egne metoder som var langt mer effektive enn de gamle. Han jobbet blant annet mye med vektorer, og han er blant de aller f?rste som adderte vektorer. I 1798 publiserte han en avhandling med tittelen Om direktionenes analytiske betegning, et fors?g anvendt fornemmelig til plane og sf?riske polygoners opl?sning. Her gir han blant annet en geometrisk beskrivelse av de komplekse tallene, f?r b?de Gauss og Argand gjorde det. Arbeidet hans ble ikke oversatt, men hvis det hadde blitt gjort ville han nok blitt regnet blant de st?rste matematikerne i Europa p? den tiden.

De to store

Etter Wessel fulgte noen av tidenes st?rste norske matematikere. F?rst ute var Niels Henrik Abel. Abel var f?dt p? Finn?y og oppvokst i Gjerstad, men det var f?rst da han begynte p? katedralskolen i Christiania og fikk Bernt Michael Holmboe til l?rer at hans matematiske talent begynte ? blomstre. Snart hadde Abel g?tt forbi alle sine l?rere i Norge, og han m?tte reise utenlands for ? l?re mer. P? en reise i Europa ble Abel kjent med den tyske ingeni?ren August Leopold Crelle. Crelle hadde lenge ?nsket ? starte et matematisk tidsskrift som kunne ta kampen opp med de franske, og etter hvert startet han Journal für die reine und angewandte Mathematik. Her publiserte Abel de fleste av sine arbeider. Abel leverte viktige bidrag til matematikken p? flere omr?der, men han er nok mest kjent for sin ligningsteori, teorien om elliptiske funksjoner og arbeidene om uendelige rekker.

Sophus Lie er en av tidenes mest anerkjente norske matematikere

Etter Abel fulgte en annen stor norsk matematiker: Sophus Lie (1842–1899). Lie var h?yt ansett i Europa, og han arbeidet blant annet i Berlin, G?ttingen og Paris. I G?ttingen samarbeidet han med Felix Klein. I 1886 ble Lie utnevnt til professor i matematikk i Leipzig. Lie skapte et helt nytt matematisk begrep, som i dag g?r under betegnelsen Lie-grupper, og han leverte flere viktige bidrag til utviklingen av algebra.

Samtidig med Sophus Lie levde og virket ogs? Ludvig Sylow. Ogs? han leverte viktige bidrag til gruppeteorien, og de s?kalte Sylow-teoremene er oppkalt etter ham. Sylow ble tidlig anerkjent i utlandet, men her hjemme forble han lenge anonym. Da han var ferdig med studiene var det ingen stilling til ham ved Universitetet i Oslo, s? han fikk jobb som overl?rer i Halden i stedet. Her ble han v?rende i 40 ?r. I 1898 ble han utnevnt til ekstraordin?r professor ved universitetet, og han underviste her fram til han var nesten 85 ?r.

Elling Holst (1849–1915) var elev av Sophus Lie, og han studerte geometri under Felix Klein. Holst arbeidet mye med skolematematikken, og han var kjent som en dyktig l?rer. Hans doktoravhandling fra 1882 hadde tittelen Et par syntetiske methoder, is?r til brug ved studiet af metriske egenskaber.

Organiseringen av norsk matematikk

P? begynnelsen av 1900-tallet hadde det matematiske milj?et i Norge blitt sterkt, og det oppstod et behov for en samlende organisasjon. I 1918 ble Norsk matematisk forening dannet, og Carl St?rmer ble valgt som foreningens f?rste formann. En annen markant matematiker p? denne tiden var Thoralf Skolem (1887–1963). Han var ogs? en sentral person i Norsk matematisk forening, han var redakt?r for Norsk matematisk tidsskrift, og i 1953 var han med og grunnla tidsskriftet Mathematica Scandinavica.

En av de aller mest markante norske matematikerne i v?r tid er nok Atle Selberg. Han er blant annet kjent for sine arbeider innenfor analytisk tallteori, og han regnes som en av de fremste tallteoretikerne gjennom alle tider. I 1950-?rene jobbet han med ? introdusere spektralteori i tallteorien, og resultatet av dette arbeidet finnes i den s?kalte Selbergs sporformel, som er hans mest anerkjente arbeide. I 1950 fikk Selberg den prestisjetunge Fieldsmedaljen, og i 1986 fikk han Wolfprisen i matematikk.

I forbindelse med Abels 200-?rsjubileum i 2002 ble Abelprisen opprettet. En slik pris ble foresl?tt allerede av Sophus Lie, da det ble kjent at nobelprisen ikke skulle deles ut i matematikk. Da Abelprisen f?rste gang ble delt ut i 2003, ble dette etter manges mening den viktigste prisen i matematikk.

Litteratur

• Bekken, O.B. (udatert). Tallsystemets r?tter, Matematikk i utvikling bok 1. Kristiansand: Agder distriktsh?gskole, fagseksjonen for matematikk, skrifter: 6. 
• Boyer, C.B. (1968). A history of mathematics. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3. 
• Brun, V. (1962). Regnekunsten i det gamle Norge: fra Arilds tid til Abel. Oslo: Universitetsforlaget. 
• Brun, V. (1964). Alt er tall: matematikkens historie i oldtid og middelalder. Oslo: Universitetsforlaget. 
• Cajori, F. (2007). A history of mathematical notations. I og II. Princeton, USA: Cosimo. ISBN 978-1-60206-684-7. 
• Gjone, G. (1996). Matematikkhistorie i miniatyr.. Bergen: Caspar. ISBN 82-90898-11-8. 
• Holme, Audun (2001). Matematikkens historie: Fra Babylon til mordet p? Hypatia.. Bergen: Fagbokforlaget. ISBN 82-7674-678-0. 
• Holme, Audun (2004). Matematikkens historie 2: Fra de arabiske vise til Niels Henrik Abel.. Bergen: Fagbokforlaget. ISBN 82-7674-814-7. 
• Holme, Audun (2015). Matematikkens historie 3: Fra Abels tid. Bergen. Fagbokforlaget. ISBN 978-82-450-1579-9.
• Ifrah, G. (1997). All verdens tall: tallenes kulturhistorie.. Oslo: Pax. ISBN 82-530-1887-8. 
• Katz, Victor J. (1998). A history of mathematics: an introduction.. Reading, Mass.: Addison-Wesley Longman. ISBN 0-321-01618-1. 
• Martzloff, J.C., Gernet, J., Dhombres, J. (2006). A History of Chinese Mathematics.. Springer. ISBN 978-3-540-33782-9. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)
• McLeish, J. (1992). Matematikens kulturhistoria.. Stockholm: Forum. ISBN 91-37-10200-1. 
• Pengelly, D. og Laubenbacher, R. (1999). Mathematical expeditions: chronicles by the explorers.. New York: Springer. ISBN 0-387-98434-8. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)
• Robson E. og Stedall, J.A (2009). The Oxford Handbook of the History of Mathematics. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0199603190. 
• Sing, Simon (1998). Fermats siste sats – historien om g?ten som forfulgte verdens skarpeste hjerner i 358 ?r.. Oslo: Aschehoug. ISBN 82-03-20840-1. 
• Thorvaldsen, S. (2002). Matematisk kulturhistorie : artikkelsamling. (PDF). Troms?: H?gskolen i Troms? Eureka forl. ISBN 82-7389-045-7. Arkivert fra originalen (PDF) 4. mars 2016. 
• Wilkinson, E. (2000). Chinese history: a manual.. Cambridge, Mass.: The Harvard University Asia Center for the Harvard-Yenching Institute. ISBN 0-674-00247-4. 

Eksterne lenker

• (en) History of mathematics – kategori av bilder, video eller lyd p? Commons
• Thorvaldsen, S.: Krydder og krutt fra matematikkens historie
• Lenkeside fra The British Society for the History of Mathematics
• MacTutor History of Mathematics archive
• Index of Ancient Greek mathematics
• Index of Arab/Islamic mathematics
• Hauksbok. En norr?n regnetekst fra 1300-tallet
• Sletsj?e, A.B.: Matematikk i et n?tteskall